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Ripasso di MATEMATICA 

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GEOMETRIA

Problema cono 1

Problema piramide 1

Problema cilindro 1

Problema sulla piramide N. 1,,
Una piramide quadrangolare regolare,, ha l'area della superficie laterale,, di 320 cm² .
e,, lo spigolo di base é 8/5 dell'apotema
Calcolare l'area della superficie totale,, e,, il volume della piramide.
pathim-DatiPir_1.png

L'area totale,, é uguale alla somma dell'area di base,, e dell'area laterale:
A,,t = A,,b + A,,l
Quindi occorre calcolare Ab,, che é l'area di un quadrato

Calcolo dell'area di base.:dove a,, é l'apotema,, l lo spigolo di base,, h l'altezza della piramide
Piramide.png
A,,b = lxl = l² infatti l'area del quadrato é uguale a lato per lato, cioé lato al quadrato
lo spigolo di base (lato del quadrato) é 8/5 di a (apotema), ma l'apotema non é esplicitamente data. Occorre calcolarla.

Sappiamo che l'area laterale della piramide,, é equivalente all'area di un triangolo,,
pathim-Altrpir.png che ha per base il perimetro della base,, e,, per altezza,, l'apotema della piramide
Quindi,, Al = 4la/2 Quindi l'area laterale é uguale a quattro per il lato di base,, per l'apotema,, diviso,, due
In questa formula abbiamo due incognite, l'apotema,, a,, e il lato della base,, l,,Quindi é un'equazione in due incognite.Per poterla risolvere dobbiamo ridurla ad una sola incognita
Sfruttiamo l'altro dato del problema: cioé,, che lo spigolo di base é 8/5 dell'apotema
pathim-Piramide.png
l = (8/5)*a se andiamo a sostituire nella formula dell'area laterale,, ad elle,, questo valore,, cioé otto,, quinti,, per,,a
si ha: Al = 4*(8/5)*a*a
(32/5)*a² = 320 si ha,, che l'area laterale,, é uguale a quattro,, per,, otto, quinti,, per a,, al quadrato
da questa formula si ricava,, dopo semplici calcoli,, che a² = 100 e,, quindi,, a = 10 cm.
Sapendo che l,, = 8/5 di a, si ottiene che,, l,, = 16cm.Si ricorda che gli otto,, quinti,, di 10,, si ottengono dividendo,, 10,, per 5,, e moltiplicando,, per 8
ora é possibile calcolare l'area della base:
cioé l² = 10² = 256 cm²

e l'area totale,, = Ab,, + Al,, =,, 320,, + 256,, = 576 cm²
Ci rimane da calcolare il volume della piramide

V = (1/3)*Ab*h Esso si calcola,, dividendo per tre,, il prodotto dell'area di base,, per l'altezza,, della piramide
Occorre quindi calcolare l'altezza della piramide
pathim-Triangolo_rett.png
Dalla figura,, si vede che,, l'altezza della piramide,, é anche,, l'altezza del triangolo rettangoloche ha,, per base,, la metà,, del lato di base,, e,, per,, ipotenusa,, l'apotema della piramide
Quindi, applicando il teorema di pitagora,, ed eseguiti i calcoli,,
si ottiene h = 6 cm.
Sostituendo i valori calcolati,, dell'area di base,, e,, dell'altezza della piramide
pathim-Volpunt.png nella formula,, del volume della piramide
Si ottiene V = 512 cm³
2009-2015