NihilScio

  Home

NS - ©2009-21

Nihil Scio, Sed Unum Scio, Nihil Scire   Educational search engine
Indice
Dinamica

Dinamica: E' quella parte della Meccanica che studia il movimento dei corpi, tenendo conto delle forze che generano il moto e dell'inerzia dei corpi stessi.

Principi: Sono asserzioni che non è possibile dimostrare rigorosamente, anche se spesso possono essere verificate sperimentalmente in modo diretto o indiretto attraverso le loro applicazioni.

Inerzia: Qualunque corpo è restio a cambiare il suo stato. L'opposizione che un corpo manifesta quando una causa esterna tende a fargli cambiare stato viene detta inerzia.
In particolare l'inerzia al moto, detta anche inerzia di quiete è la tendenza che un corpo in quiete tende a mantenere tale stato.
Esiste anche un'inerzia di moto, in quanto un corpo in movimento tende a mantenere lo stato di moto indefinitamente.
Esiste infine anche una resistenza di un corpo in movimento a cambiare direzione.

Tutte queste considerazioni hanno portato alla formulazione del I principio della Dinamica o principio di inerzia che si deve a Leonardo da Vinci

Un corpo sottratto ad ogni azione esterna, persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Forza: ogni azione capace di modificare lo stato di quiete o di moto rettilineo ed uniforme di un corpo.

II Principio della Dinamica ( Legge di Galilei )

Per uno stesso corpo si mantiene costante il rapporto tra l'intensità della forza applicata e l'accelerazione da esso acquistata:

   F
------- = m
   a

m varia da corpo a corpo ed è l'indice dell'inerzia al moto cioè la misura della massa.

III Principio della Dinamica (principio di Newton)

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Legge di Newton: Indicando con m ed m1 le masse di due punti materiali posti alla distanza r l'uno dall'altro, tra di esse si esercita una forza F proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

         m m1
F= K ---------
            r
2

ove K è una costante di proporzionalità.

Moto vario
Quando durante il moto la velocità non si mantiene costante rispetto al tempo ma varia istante per istante, tale moto si dice vario.
Il moto può essere accelerato se la velocità aumenta col tempo, e ritardato se diminuisce.
Si definisce velocità media con Δs = s2 - s1  lo spazio percorso nell'intervallo di tempo  Δt = t2 - t1

           Δs
vm = -------
           Δt
Quando Δt tende a 0 la velocità si dirà velocità istantanea vi.
Si definisce accelerazione media con v2 la velocità al tempo t2 e v1 la velocità al tempo t1         
          v2 - v1           Δ
am = ------------ = --------
           t2 - t1          Δt  

Moto uniformemente vario
Si definisce moto uniformemente vario su una traiettoria rettilinea, il moto di un punto materiale la cui velocità aumenta o diminuisce di una quantità costante per ogni unità di tempo, pertanto si ha:
- accelerazione costante;
- velocità crescente o decrescente linearmente.

Ciò si sintetizza nella formula:
v = v0 ± at

la velocità media sarà la semisomma della velocità iniziale v0 e la velocità finale al tempo t

          v0 + vt
vm = ------------
             2
essendo  v = v0 + at

infatti essendo per definizione:
v
----- = a  al tempo t quindi v = at
t
per cui:
                 v0 + v0 + at
s = vm t  = --------------- =
                         2
     2v0 + at
= ------------
         2
                  at
vm = v0 + ------  = v media
                   2
tramite la velocità media si può calcolare lo spazio percorso:

                           1
s = v
m t =  v0 t + ---- a t2
                           2

e la relazione  v = v0 + at
sono le relazioni fondamentali del moto uniformemente accelerato.

se all'istante in cui si cominciano a contare i tempi cioè t0 = 0 il punto già si trova ad una certa distanza s0 dall'origine si scrive:

                        1
s = s0 +  v0 t + ---- a t2
                        2

per il moto ritardato:

                          1
s = s0 +  v0 t -   ---- a t2
                          2

Relazione tra v ed s

Ricaviamo t dalla v = v0 + at
si ha:
     v - v0
t = --------
        a
sostituendo nella espressione nello spazio e sviluppando si ha:
       v0v     v02      v2      v0v       v02
s = ------ - ----- + ------ - ------ + ------
        a        a         2a        a         2a

semplificando:
       v2     v02
s = ----- - -----
       2a     2a

2sa = v2 -v02

v = Radice quadrata ( v02 + 2as)
se v0 ( velocità iniziale) = 0

v = Radice quadrata(2as)
Energia Cinetica
Applicando una forza F ad un corpo di massa m  in modo da determinarne uno spostamento s si ottiene un lavoro pari a:
               L = F x s
essendo F = ma si ha L = m a s  (1)

dove a è l'accelerazione di un moto uniformemente ritardato in quanto il moto all'applicazione della forza ha inizio con velocità v e si azzera dopo aver percorso il tratto s.
Lo spazio percorso sarà quindi:
             1
s = vt - ----- a t2         (2)
             2
al tempo t (necessario per ottenere lo spostamento s) la velocità v sarà 0, quindi deve essere:

v- at = 0

v = at
       v
t = -----
       a
sostituendo nella (2) si ha:
          v       1       v2       
s = v ---- -  ---- a ----- =
          a       2      a2
       v2     1        v2
  = ---- - -----  . ------  = 
       a       2         a
         1        v2
   =   ----  .  -----
         2         a
sostituendo nella (1) si ha:
             1    v2
L = ma ---- ----  =
              2    a
    1
= ---- m v2 = Energia cinetica
    2
Quindi l'energia cinetica rappresenta l'energia acquistata da un corpo in conseguenza della sua velocità.
Questa energia acqistata dal corpo può essere restituita nel passare dallo stato di moto allo stato di quiete.
Moto circolare uniforme
Un punto materiale P si muove di moto circolare uniforme, quando, muovendosi con traettoria circolare, il rapporto tra l'arco percorso e l'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo è costante.
Ciò significa che se percorre  ( con velocità costante)  una intera circonferenza di raggio nel tempo T la sua velocità periferica sarà:
       2πr
v= ------- 
        T


                      2 π
la grandezza  -------  = ω
                       T
dicesi velocità angolare e si indica con ω, si misura in radianti al secondo.

T dicesi periodo ( tempo impiegato per percorrere l'intera circonferenza)
 quindi si può anche scrivere  v = ω r

  1
------  = f    dicesi frequenza,
  T
la sua unità di misura è l'Hertz  ( Hz).
Essendo     ωr = 2πfr  semplificando si ha  ω = 2 πf

Momento d'inerzia
E' un'indice della distribuzione delle masse all'interno di un sistema, ha grande importanza nel determinare il comportamento di un corpo di foma qualsiasi in rotazione.

Si può anche dire che è l'equivalente della massa per un corpo scomponibile in n parti ciascuna con distanza (ri) diversa dall'asse di rotazione e con massa diversa (mi).

    I = m1 r2 + m2 r2 + …......+ mn r2

      Il momento d'inerzia di un sistema di punti materiali tutti in rotazione con la stessa velocità angolare, rappresenta quella massa che moltiplicata per il quadrato della velocità angolare ci dà il valore dell'energia cinetica del sistema ( infatti I = m r2  e v = ωr).


          1
Ec = ----- I ω2
          2

Il suo calcolo è in genere abbastanza complesso, ma nelle costruzione di macchine rotanti è assolutamente necessario.
Ad esempio per mettere in rotazione un corpo con un grande momento di inerzia occorre più energia rispetto ad un corpo con piccolo momento di inerzia.

Impulso e quantità di moto

Dalla relazione        F = ma

moltiplicando per il tempo t ( tempo di applicazione della forza F al corpo di massa m) si ha.

F t = m a t

ma per definizione si ha che:

         v
a = ------
         t

per cui v= a t , sostituendo si ha:

              v
F t = m ------ t
              t

semplificando si ha: F t = m v

Il prodotto F t si definisce impulso della forza

Il prodotto m v = si definisce quantità di moto

In pratica l'impulso è uguale alla quantità di moto.

Consideriamo ora il caso di moto circolare:

se moltiplichiamo ambi i membri per r si ha:

 essendo v = ωr  si ha:

F t r = m ωr2

ma Fr = M momento meccanico  e  m r2= I il momento di inerzia

quindi si può scrivere:

Mt = Iω
In termini differenziali:
MΔt = IΔω

Momento angolare o della quantità di moto di una particella di massa m in rotazione con velocità v = ω r ove r è la distanza dall'asse di rotazione:

L = r m v

è uguale al prodotto tra la lunghezza del raggio di rotazione e la quantità di moto della particella.


essendo v=ωr  si ha
L = mω r r = mω r2
ma    m r2 = I (momento d'inerzia) quindi:
L = I ω
ma essendo anche:

L = Iω = Mt
In termini differenziali si scrive:
        ΔL
M = -----
        Δt

Quindi il momento angolare ha origine in applicazione di un momento meccanico (M = F x r) ed è responsabile della rotazione, si conserva anche quando si annulla il momento M risultante delle forze esterne che hanno determinato la rotazione.

NS-NihilScio