Disequazioni razionali intere di 2° grado
Una disequazione razionale intera di grado 2 si può ridurre alla forma:

ax² + bx + c > 0
oppure alla forma: ax² + bx + c < 0
Nell'ipotesi a > 0 si opera nel seguente modo:
Si calcola il discriminante
δ = b² -4ac del polinomio
ax² + bx + c

caso 1: δ > 0

l'equazione: ax² + bx + c = 0 _ ha due radici reali e distinte x1, x2, e supponiamo che sia x2 > x1
In tal caso si ha anche:
ax² + bx + c = a*(x - x1)*(x - x2)
Da semplici osservazioni si può notare che se attribuiamo a x _ valori maggiori di x2 si ha:

che x - x1 > 0 e x - x2 > 0
essendo a > 0 il valore del polinomio sarà dato _ dal prodotto di tre numeri positivi e quindi sarà positivo.

Se attribuiamo a x un valore minore di x1 si ha:

che sia x - x1 che x - x2, assumono valori negativi pertanto:
il polinomio assume un valore risultato del prodotto di un numero positivo a e _ 2 numeri negativi (x - x1) (x-x2) quindi

sarà ancora positivo.
In definitiva il polinomio ax² + bx + c assume valore positivo _ per ogni valore di x esterno all'intervallo delle radici:
cioè per x < x1 e x > x2

Viceversa se ad x diamo valori copresi nell'intervallo delle radici cioè x1 < x < x2 si ha:
x - x1 > 0 e x - x2 < 0
Quindi il prodotto a*(x - x1)*(x - x2), sarà il prodotto di a (positivo) _ per (x, - x1) positvo per (x - x2) = negativo
Il polinomio assume quindi valori negativi

In definitiva risulta:

Se δ > 0 e a > 0 la disequazione ax² + bx + c > 0 _ è soddisfatta per i valori di x esterni all'intervallo delle radici x1 e x2 del polinomio ax² + bx + c
Mentre la disequazione: ax² + bx + c < 0 _ è soddisfatta per i valori interni all'intervallo delle radici.

caso 2: δ = 0
                                                                                                                           b

L'equazione ax² + bx + c = 0 ha due radici reali e coincidenti: x1 = x2, = = - ----

                                                                                                                           2a
Il polinomio si può scrivere:
                                                     b

ax² + bx + c = a*(x - x1)² = a (x + ---)²

                                                     2a
                                                                                                                           b
per cui essendo a > 0 il polinomio è positivo per ogni valore della x eccetto - ---

                                                                                                                           2a
                                                                                                                                                             b

Quindi se δ > 0 e a > 0 la disequazione ax² + bx + c > 0 _ è soddisfatta da tutti i valori di x escluso - ---

                                                                                                                                                             2a
Mentre la disequazione ax² + bx + c < 0 non ammette soluzione

caso 3: Δ < 0
In questo caso discriminante negativo l'equazione ax² + bx + c = 0 non ammette soluzioni reali,

ma il polinomio si può scrivere nel seguente modo:
                                   b         c

ax² + bx + c = a(x² + ---x + ---) =

                                   a         a
               b        c      b²   b²

= a(x² + ---x + --- + --- - ---) =

               a        a      4a²   4a²
            b        b²-4ac

a[(x + ---)² - --------]

          2a         4a²
Avendo dato per ipotesi b²-4ac < 0 nelle parentesi quadre si ha la somma di un quadrato
che può essere solo positivo o nullo e di un numero positivo
ed essendo a > 0 il polinomio ax² + bx + c è il prodotto di 3 numeri positivi e quindi è positivo. Pertanto:
se Δ < 0 e a > 0 la disequazione ax² + bx + c > 0 _ è soddisfatta da tutti i valori della x
mentre la disequazione ax² + bx + c < 0 non ammette soluzioni.